DTS09-02-09-2552

สรุปสิ่งที่ได้จากการเรียนเรื่อง TREE ( ต่อ )

EXPRESSION TREE
เป็น การนำเอาโครงสร้างทรีไปใช้เก็บนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยเป็นไบนารีทรี ซึ่งตและโหนดเก็บ Operator และ Operand ของนิพจน์คณิตศาสตร์ไว้ หรืออาจจะเก็บค่านิพจน์ทางตรรกะ เมื่อแทนนิพจน์ต่างลงในทรีต้องคำนึงถึงลำดับขั้นตอนในการคำนวณตามความสำคัญ ของเครื่องหมายด้วย โดยมีความสำคัญ คือ ฟังก์ชัน วงเล็บ ยกกำลัง เครื่องหมายหน้าเลขจำนวน(unary) คูณหรือหาร บวกหรือลบ ตามลำดับ และถ้ามีเครื่องหมายที่ระดับเดียวกันให้ทำจากซ้ายไปขวา

ในการแทนนิพจน์ใน expression tree นั้น operand จะเก็บอยู่ที่โหนดใบ ส่วน operator จะเก็บในโหนดกิ่ง หรือโหนดที่ไม่ใช่โหนดใบ

BINARY SEARCH TREE
เป็น ไบนารีทรีที่ค่าของโหนดรากมีค่ามากกว่าค่าของทุกโหนดในทรีย่อยทางซ้าย และมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าของทุกโหนดในทรีย่อยทางขวาและในแต่ละทรีย่อย ก็จะมีคุณสมบัติเช่นเดียวกัน

ปฏิบัติการเพิ่มโหนดหรือดึงโหนดออกจาก Binary Search Tree ค่อนข้างยุ่งยาก เนื่องจากหลังปฏิบัติการเสร็จเรียบร้อยแล้วต้องคำนึงถึงความเป็น Binary Search Tree ของทรีนั้นด้วย ซึ่งสามารถทำได้ดังนี้
1. การเพิ่มโหนด ถ้าทรีว่างโหนดที่เพิ่มเข้าไปก็จะเป็นโหนดรากของทรี แต่ถ้าทรีไม่ว่างต้องทำการตรวจสอบก่อนว่าโหนดใหม่ที่เพิ่มเข้าไปมีค่า มากกว่าหรือน้อยกว่าโหนดราก ให้เปรียบเทียบตามคุณสมบัติที่กล่าวไว้ข้างต้น
2. การดึงโหนดออก ซึ่งหลังจากที่ดึงออกแล้วนั้นต้องคงความเป็น Binary Search Tree ไว้ ก่อนที่จะทำการดึงโหนดต้องค้นหาก่อนว่าโหนดที่ต้องการจะดึงออกอยู่ที่ ตำแหน่งไหนภายในทรี สามารถพิจารณาได้เป็น 3 กรณีคือ
ก.) กรณี่เป็นโหนดใบ สามารถดึงออกได้เลยทันที โดยให้ค่าในลิงค์ฟิลด์ของโหนดแม่ซึ่งเก็บที่อยู่ของโหนดที่ต้องการดึงออกให้ มีค่าเป็น Null
ข.) กรณีที่มีเฉพาะทรีย่อยทางซ้ายหรือทรีย่อยทางขวาเพียงด้านใดด้านหนึ่ง โดยใช้วิธีเดียวกับการดึงโหนดออกจากลิงค์ลิสต์ โดยให้โหนดแม่ของโหนดที่จะดึงออกชี้ไปยังโหนดลูกของโหนดนั้นแทน
ค.) กรณีที่มีทั้งทรีย่อยทางซ้ายและทางขวาต้องเลือกโหนดมาแทนโหนดที่ถูกดึงออก โดยถ้าโหนดที่มาแทนที่เป็นหนดที่เลือกจากทรีย่อยทางซ้ายต้องเลือกโหนดที่มี ค่ามากที่สุดในทรีย่อยทางซ้ายนั้น แต่ถ้าเลือกโหนดจากทรีย่อยทางขวาต้องเลือกโหนดที่มีค่าน้อยที่สุดในทรีย่อย ทางขวานั้น

กราฟ (Graph)

กราฟ (Graph) เป็นโครงสร้างข้อมูลแบบไม่ใช่เชิงเส้น อีกชนิดหนึ่ง กราฟเป็นโครงสร้างข้อมูลที่มีการนำไปใช้ในงานที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ที่ค่อนข้างซับซ้อนเช่น การวางข่าย งานคอมพิวเตอร์ การวิเคราะห์เส้นทางวิกฤติ และปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด เป็นต้น

นิยามของกราฟกราฟ เป็นโครงสร้างข้อมูลแบบไม่ใช่เชิงเส้นที่ประกอบ ด้วยกลุ่มของสิ่งสองสิ่งคือ
(1) โหนด (Nodes) หรือ เวอร์เทกซ์(Vertexes)
(2) เส้นเชื่อมระหว่างโหนด เรียก เอ็จ (Edges)
กราฟ ที่มีเอ็จเชื่อมระหว่างโหนดสองโหนดถ้าเอ็จไม่มีลำดับ ความสัมพันธ์จะเรียกกราฟนั้นว่ากราฟแบบไม่มีทิศทาง (Undirected Graphs)และถ้ากราฟนั้นมีเอ็จที่มีลำดับความสัมพันธ์หรือมีทิศทางกำกับด้วย เรียกกราฟนั้นว่า กราฟแบบมีทิศทาง(Directed Graphs)บางครั้งเรียกว่า ไดกราฟ (Digraph)ถ้าต้องการอ้างถึงเอ็จแต่ละเส้นสามารถเขียนชื่อเอ็จกำกับไว้ก็ได้

การแทนกราฟในหน่วยความจำ สิ่ง ที่ต้องการจัดเก็บก็คือ เอ็จ ซึ่งเป็นเส้นเชื่อมระหว่างโหนดสองโหนด วิธีที่ง่ายคือ การเก็บเอ็จในแถวลำดับ 2 มิติ แต่จะเป็นการเปลืองเนื้อที่เพราะบางเอ็จมีการเก็บซ้ำ แต่สามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยมิติแรกเก็บโหนดต่างๆ แล้วใช้พอยเตอร์ชี้ไปยังความสัมพันธ์กับโหนดในมิติ 2 แต่เป็นวิธีที่ยุ่งยาก ไม่เหมาะกับกราฟที่มีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

การท่องไปในกราฟ (graph traversal) คือกระบวนการเข้าไปเยือนโหนดในกราฟ โดยมีหลักในการ
ทำ งานคือ แต่ละโหนดจะถูกเยือนเพียงครั้งเดียว สำหรับการท่องไปในทรีเพื่อเยือนแต่ละโหนดนั้นจะมีเส้นทางเดียวแต่ในกราฟระ หว่างโหนดอาจจะมีหลายเส้นทาง ดังนั้นเพื่อป้องกันการท่องไปในเส้นทางที่ซ้ำเดิมจึงจำเป็นต้องทำเครื่อง หมายบริเวณที่ได้เยือนเสร็จเรียบร้อยแล้วเพื่อไม่ให้เข้าไปเยือนอีก สำหรับเทคนิคการท่องไปในกราฟมี 2 แบบดังนี้
1. การท่องแบบกว้าง (Breadth First Traversal)วิธีนี้ทำโดยเลือกโหนดที่เป็นจุดเริ่มต้น ต่อมาให้เยือนโหนด
อื่นที่ใกล้กันกับโหนดเริ่มต้นทีละระดับจนกระทั่งเยือนหมดทุกโหนดในกราฟ
2. การท่องแบบลึก (Depth First Traversal)การทำงานคล้ายกับการท่องทีละระดับของทรี โดยกำหนดเริ่มต้นที่โหนดแรกและเยือนโหนดถัดไปตามแนววิถีนั้นจนกระทั่งนำไป สู่ปลายวิถีนั้น จากนั้นย้อนกลับ (backtrack) ตามแนววิถีเดิมนั้น จนกระทั่งสามารถดำเนินการต่อเนื่องเข้าสู่แนววิถีอื่น ๆ เพื่อเยือนโหนดอื่น ๆ ต่อไปจนครบทุกโหนด

DTS08-26-08-2552

สรุปสิ่งที่ได้จากการเรียน เรื่อง TREE

TREE

ทรี (tree) เป็นโครงสร้างข้อมูลที่ความสัมพันธ์ระหว่างโหนดจะมีความสัมพันธ์ลดหลั่นกัน เป็นลำดับชั้น (hierarchical relationship) มีกี่ชั้นก็ได้แล้วแต่งาน ได้มีการนำรูปแบบทรีไปประยุกต์ใช้ในงานต่าง ๆ อย่างแพร่หลาย ส่วนมากจะใช้สำหรับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล ตัวอย่างที่มีการใช้โครงสร้างข้อมูลแบบทรี เช่น แผนผังแสดงองค์ประกอบของหน่วยงานต่าง ๆ โครงสร้างสารบัญหนังสือ และโครงสร้างแสดงสารบบในหน่วยความจำสำรองในเครื่องคอมพิวเตอร์ เป็นต้น

โดยทั่วไปแต่ละโหนดในทรีจะมีความ สัมพันธ์กับโหนดในระดับที่ต่ำลงมาหนึ่งระดับได้หลาย ๆ โหนด หรืออาจกล่าวได้ว่าแต่ละโหนดของทรีเป็น "โหนดแม่" (parent or mother node) ของ "โหนดลูก" (child or son node) ซึ่งเป็นโหนดที่อยู่ในระดับต่ำลงมาหนึ่งระดับโดยสามารถมีโหนดลูกได้หลาย ๆ โหนด และโหนดต่าง ๆ ที่มีโหนดแม่เป็นโหนดเดียวกันเรียกว่า "โหนดพี่น้อง" (siblings) ทุก ๆ โหนดต้องมีโหนดแม่เสมอยกเว้นโหนดในระดับสูงสุดไม่มีโหนดแม่เรียกโหนดนี้ว่า "โหนดราก" (root node) โหนดที่ไม่มีโหนดลูกเลยเรียกว่า "โหนดใบ" (leave node) และเส้นเชื่อมแสดงความสัมพันธ์ระหว่างโหนดสองโหนดเรียกว่า "กิ่ง" (branch) สังเกตได้จากตัวอย่าง แสดงระดับของทรีและส่วนต่าง ๆ ของทรี

นิยามของ TREE

1. "นิยามทรีด้วยนิยามของกราฟ" เนื่องจากรูปแบบของทรี เป็นรูปแบบเฉพาะอย่างหนึ่งของกราฟ (graph) ดังนั้นเราอาจจะกำหนดนิยามของทรีด้วยนิยามของกราฟดังนี้
ทรี คือ กราฟที่ต่อเนื่องกันโดยไม่มีวงจรปิด (loop) ในโครงสร้าง โหนดสองโหนดใด ๆ ในทรีต้องมีทางติดต่อกันทางเดียวเท่านั้น ทรีที่มี N โหนด ต้องมีกิ่งทั้งหมด N-1 เส้น การเขียนรูปแบบทรีอาจเขียนได้ 4 แบบ คือ

2. "นิยามทรีด้วยรูปแบบรีเคอร์ซีฟ" การกำหนดนิยามของ ทรีอาจกำหนดได้อีกวิธีหนึ่งเป็นการนิยามแบบรีเคอร์ซีฟ คือ ทรีประกอบด้วยสมาชิกที่เรียกว่า โหนด โดยที่ ถ้าว่าง ไม่มีโหนดเลยเรียกว่า นัลทรี (null tree) และถ้ามีโหนดหนึ่งเป็นโหนดราก ส่วนที่เหลือแบ่งเป็นทรีย่อย (sub tree) T1, T2, T3, ... , Tk (โดยที่ k³0) และทรีย่อยต้องมีคุณสมบัติเป็นทรี เช่นกัน

นิยามที่เกี่ยวข้องกับ TREE มีนิยามต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับ ทรีมากมายดังต่อไปนี้

1. "ฟอร์เรสต์" (forest) หมายถึง กลุ่มของทรีที่เกิดจากการเอาโหนดรากของทรีออก หรือเซตของทรีที่แยกจากกัน (disjoint trees)
(2) "ทรีที่มีแบบแผน" (ordered tree) หมายถึง ทรีที่โหนดต่าง ๆ ในทรีนั้นมีความสัมพันธ์ที่แน่นอน
(3) "ทรีคล้าย" (similar tree) คือ ทรีที่มีโครงสร้างเหมือนกัน หรือทรีที่มีรูปร่างของทรีเหมือนกันนั่นเองโดยไม่คำนึงถึงข้อมูลที่อยู่ใน แต่ละโหนด
(4) "ทรีเหมือน" (equivalent tree) หมายถึง ทรีที่เหมือนกันโดยสมบูรณ์ (equivalence) โดยต้องเป็นทรีที่คล้ายกันและแต่ละโหนดในตำแหน่งเดียวกันมีข้อมูลเหมือนกัน
(5) "กำลัง" (degree) หมายถึง จำนวนทรีย่อยของโหนดนั้น ๆ
(6) "ระดับของโหนด" (level of node) คือ ระยะทางในแนวดิ่งของโหนดนั้น ๆ ที่อยู่ห่างจากโหนดราก

การแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลัก

การแทนที่โครงสร้างข้อมูลแบบทรีในความ จำหลักสามารถแทนที่แบบสแตติก หรือแบบไดนามิกก็ได้ โดยมีพอยน์เตอร์เชื่อมโยงจากโหนดแม่ไปยังโหนดลูก แต่ละโหนดต้องมีลิงค์ฟิลด์หลายลิงค์ฟิลด์เพื่อเก็บที่อยู่ของโหนดลูกต่าง ๆ นั่นคือ จำนวนลิงค์ฟิลด์ของแต่ละโหนดขึ้นอยู่กับจำนวนของโหนดลูก การแทนที่ทรีซึ่งแต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์ไม่เท่ากัน ทำให้ยากต่อการปฏิบัติการเป็นอย่างยิ่ง มีวิธีการแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลายวิธี วิธีที่ง่ายที่สุดคือทำให้แต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์เท่ากัน

การแปลงไบนารีทั่วไปให้เป็นไบนารีทรี

ขั้น ตอนการแปลงทรีทั่ว ๆ ไปให้เป็นไบนารีทรี ที่ความสัมพันธ์ของการจัดเก็บเหมือนกับที่กล่าวมาแล้วข้างต้น นั่นคือ แต่ละโหนดมี 2 ลิงค์ฟิลด์ ค่าพอยน์เตอร์ในลิงค์ฟิลด์แรกเก็บที่อยู่ของโหนดลูกคนโต และค่าพอยน์เตอร์ในลิงค์ฟิลด์ที่สองเก็บที่อยู่ของโหนดพี่น้องคนถัดไป มีลำดับขั้นตอนการแปลงดังต่อไปนี้
(1) ให้โหนดแม่ชี้ไปยังโหนดลูกคนโต แล้วลบความสัมพันธ์ระหว่างโหนดแม่และโหนดลูกอื่น ๆ
(2) ให้เชื่อมความสัมพันธ์ระหว่างโหนดพี่น้อง
(3) จับให้ทรีย่อยทางขวาเอียงลงมา 45 องศา

ดังตัวอย่าง การแสดงขั้นตอนการแปลงทรีทั่วไปในภาพให้เป็นไบนารีทรี

การท่องไปในไบนารีทรี
ปฏิบัติ การที่สำคัญในไบนารีทรี คือ การท่องไปในไบนารีทรี (traversing binary tree) เพื่อเข้าไปเยือนทุก ๆ โหนดในทรี ซึ่งวิธีการท่องเข้าไปต้องเป็นไปอย่างมีระบบแบบแผน สามารถเยือนโหนดทุก ๆ โหนด ๆ ละหนึ่งครั้ง วิธีการท่องไปนั้นมีด้วยกันหลายแบบแล้วแต่ว่าต้องการลำดับขั้นตอนการ เยือนอย่างไรในการเยือนแต่ละครั้ง โหนดที่ถูกเยือนอาจเป็นโหนดแม่ (แทนด้วย N) ทรีย่อยทางซ้าย (แทนด้วย L) หรือทรีย่อยทางขวา (แทนด้วย R) มีวิธีการท่องเข้าไปในทรี 6 วิธี คือ NLR LNR LRN NRL RNL และ RLN แต่วิธีการท่องเข้าไปไบนารีทรีที่นิยมใช้กันมากเป็นการท่องจากซ้ายไปขวา 3 แบบแรกเท่านั้นซึ่งลักษณะการนิยามเป็นนิยามแบบรีเคอร์ซีฟ (recursive) ซึ่งขั้นตอนการท่องไปในแต่ละแบบมีดังนี้
1. "การท่องไปแบบพรีออร์เดอร์" (preorder traversal) เป็นการเดินเข้าไปเยือนโหนดต่าง ๆ ในทรีด้วยวิธี NLR มีขั้นตอนการเดินดังต่อไปนี้
(1) เยือนโหนดราก
(2) ท่องไปในทรีย่อยทางซ้ายแบบพรีออร์เดอร์
(3) ท่องไปในทรีย่อยทางขวาแบบพรีออร์เดอร์

2. "การท่องไปแบบอินออร์เดอร์" (inorder traversal) เป็นการเดินเข้าไปเยือนโหนดต่าง ๆ ในทรีด้วยวิธี LNR ซึ่งมีขั้นตอนการเดินดังต่อไปนี้
(1) ท่องไปในทรีย่อยทางซ้ายแบบอินออร์เดอร์
(2) เยือนโหนดราก
(3) ท่องไปในทรีย่อยทางขวาแบบอินออร์เดอร์

3. "การท่องไปแบบโพสออร์เดอร์" (postorder traversal) เป็นการเดินเข้าไปเยือนโหนดต่าง ๆ ในทรี ด้วยวิธี LRN ซึ่งมีขั้นตอนการเดินดังต่อไปนี้
(1) ท่องไปในทรีย่อยทางซ้ายแบบโพสออร์เดอร์
(2) ท่องไปในทรีย่อยทางขวาแบบโพสออร์เดอร์
(3) เยือนโหนดราก